Question

【题目】设Sn是数列{an}的前n项和，且2an+Sn=An2+Bn+C．
（1）当A=B=0，C=1时，求an；
（2）若数列{an}为等差数列，且A=1，C=﹣2． ①设bn=2nan ， 求数列{bn}的前n项和；
②设cn= ，若不等式cn≥ 对任意n∈N*恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：当A=B=0，C=1时，2an+Sn=1，

∴ ；

当n≥2时，2an﹣1+Sn﹣1=1，

两式作差得：3an=2an﹣1，即 ，

∴数列{an}是以 为首项，以 为公比的等比数列，

∴

（2）解：当A=1，C=﹣2时，2an+Sn=n2+Bn﹣2，

∴ ， ， ，

∵数列{an}为等差数列，

∴ ，解得：B=4．

∴a1=1，a2=5，则d=4，

∴an=1+4（n﹣1）=4n﹣3，

① bn=2nan=（4n﹣3）2n，

∴数列{bn}的前n项和 ，

，

两式作差得：

= =2﹣16+2n+3﹣（4n﹣3）2n+1，

∴ ；

②cn= = = ，

∵ 单调递增，

∴当n=1时， 有最小值为 ，

∴ ，即m≤﹣14．

∴实数m的取值范围是（﹣∞，﹣14]

【解析】（1）把A=B=0，C=1代入2an+Sn=An2+Bn+C，求得数列首项，进一步可得数列{an}是以 为首项，以 为公比的等比数列，则数列的通项公式可求；（2）①由已知求出B，得到数列{an}的通项公式，代入bn=2nan ， 利用错位相减法求得数列{bn}的前n项和Tn；②把Tn代入cn= ，由函数的单调性求其最小值，由 小于等于cn的最小值求得m的取值范围．
【考点精析】通过灵活运用等差数列的通项公式（及其变式）和数列的前n项和，掌握通项公式：或；数列{an}的前n项和sn与通项an的关系即可以解答此题．