Question

将正方形ABCD沿对角线AC折成直二面角（如图），E，F分别是AD，BC的中点．
（Ⅰ）求证：AC⊥BD；
（Ⅱ）在AC上是否存在点G使DF∥平面BEG？若存在，求AG：GC；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）取AC的中点O，连接OB，OD，证明AC⊥平面OBD，即可证明AC⊥BD；
（Ⅱ）存在点G使DF∥平面BEG，AG：GC=1：2，理由：取GC的中点O，连接OD，OF，
证明OD∥平面BEG，OF∥平面BEG；推出平面ODF∥平面BEG．即可说明存在点G使DF∥平面BEG，AG：GC=1：2．
解答：证明：（Ⅰ）取AC的中点O，连接OB，OD，则由题意得：OB⊥AC，OD⊥AC，OB∩OD=O，
则AC⊥平面OBD，又BD?平面OBD，∴AC⊥BD；
（Ⅱ）存在点G使DF∥平面BEG，AG：GC=1：2，理由如下：
当AG：GC=1：2时，取GC的中点O，连接OD，OF，
则易知AG=GO=OC，故由AG=GO，以及AE=ED可知：EG是△AOD的中位线，从而GE∥OD，
于是易知OD∥平面BEG，由CO=GO，
∵CF=BF，可知FG是△CBG的中位线，∴FG∥OF，易知OF∥平面BEG；
由于OD与OF相交于O，故平面ODF∥平面BEG．由DF?平面ODF可知，DF∥平面BEG．
由于平面ODF以及BE都是不变的，故能作出平面ODF∥平面BEG的点G是唯一的，
因此存在点G使DF∥平面BEG，此时AG：GC=1：2．
点评：本题是中档题，考查直线与平面垂直，直线与直线的垂直的证明，平面与平面的平行的证明方法，考查逻辑推理能力．