Question

20．已知直线l：y=2x+1及曲线C：y=x²-2x+sinθ．
①求证：直线l与曲线C有两个不同的交点；
②求线段AB的中点P的坐标；
③求弦长|AB|的最值．

Answer 1

分析 （1）联立直线方程和抛物线方程，运用判别式即可得证；
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），运用韦达定理和中点坐标公式，即可得到；
（3）运用弦长公式，化简整理，由正弦函数的值域即可得到最值．

解答 解：（1）证明：联立y=2x+1及曲线C：y=x²-2x+sinθ．
可得x²-4x+sinθ-1=0，
由判别式△=16-4（sinθ-1）=20-4sinθ＞0恒成立，
则直线l与曲线C有两个不同的交点；
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由（1）可得x₁+x₂=4，
即有$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=2，由直线y=2x+1可得中点的纵坐标为4+1=5，
即有AB的中点坐标为（2，5）；
（3）由（1）可得x₁+x₂=4，x₁x₂=sinθ-1，
可得|AB|=$\sqrt{1+4}$•$\sqrt{{4}^{2}-4（sinθ-1）}$=$\sqrt{5}$•$\sqrt{20-4sinθ}$，
当sinθ=1时，取得最小值4$\sqrt{5}$；当sinθ=-1时，取得最大值2$\sqrt{30}$．

点评 本题考查直线和抛物线的位置关系，以及中点坐标公式，和弦长公式及最值的求法，属于中档题．