Question

16．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足（2cosA-1）sinB+2cosA=1
（1）求A的大小；
（2）若6b²=a²+3c²，求$\frac{sinB}{sinC}$的值．

Answer 1

分析 （1）化简已知的式子，结合角的范围求出cosA的值，由特殊角的余弦值求出角A；
（2）由（1）和余弦定理列出方程，把条件代入化简后转化为关于b，c的二次方程，求出b，c的关系，根据正弦定理即可求出$\frac{sinB}{sinC}$的值．

解答 解：（1）∵（2cosA-1）sinB+2cosA=1，
∴（2cosA-1）（sinB+1）=0，
∵0＜B＜π，∴sinB＞0，则cosA=$\frac{1}{2}$，
∵0＜A＜π，∴A=$\frac{π}{3}$；
（2）在△ABC中，由余弦定理得：a²=b²+c²-2bccosA=b²+c²-bc，
∵6b²=a²+3c²，∴6b²=b²+c²-bc+3c²，
化简得5b²+bc-4c²=0，
解得b=$\frac{4}{5}$c，
由正弦定理得，$\frac{sinB}{sinC}$=$\frac{b}{c}$=$\frac{4}{5}$．

点评 本题考查正弦、余弦定理的综合应用，以及化简、变形能力，属于中档题．