Question

已知A（4，3），且P是双曲线x²-y²=2上一点，F₂为双曲线的右焦点，则|PA|+|PF₂|的最小值是

 

．

Answer 1

分析：x²-y²=2⇒

x2

2

-

y2

2

=1⇒实半轴a=

2

，半焦距c=2，从而可求F₂（2，0），利用双曲线的定义|PF₂|=|PF₁|-2a及不等式即可求得|PA|+|PF₂|的最小值．

解答：解：∵x²-y²=2，
∴

x2

2

-

y2

2

=1，
∴其实半轴a=

2

，半焦距c=2，
∴右焦点F₂（2，0），左焦点F₁（-2，0）；
又A（4，3），P是双曲线x²-y²=2上一点，

∴当点P在双曲线

x2

2

-

y2

2

=1右支上时，|PA|+|PF₂|取得最小值，
∴|PF₂|=|PF₁|-2a=|PF₁|-2

2

，
∴|PA|+|PF₂|=|PA|+|PF₁|-2

2

≥|AF₁|-2

2

=

[4-(-2)]2+(3-0)2

-2

2

=3

5

-2

2

．
故答案为：3

5

-2

2

．

点评：本题考查双曲线的简单性质，由双曲线的定义将|PF₂|转化为|PF₂|=|PF₁|-2a是关键，考查分析与运算能力，属于中档题．