Question

已知a，b，c∈R，函数f（x）=ax²+bx+c，g（x）=ax+b，当-1≤x≤1时，|f（x）|≤1，
求证：①|c|≤1．
②当-1≤x≤1时，|g（x）|≤2．

Answer 1

【答案】分析：①中因为C为函数解析式的常数项，则C=f（0），由些证明C的范围可转化为f（0）的范围
②中由于a值不确定，因此要对a进行分类讨论，分类标准为a与0的关系；在每种情况中结合g（x）的单调性与①中结论不难给出结论．
注意：分类讨论后一定要有总结的过程，此步骤虽无实际作用，但不可缺少．
解答：证明：①∵当-1≤x≤1时，|f（x）|≤1，
令x=0得|c|=|f（0）|≤1，即|c|≤1．②当a＞0时，g（x）=ax+b在[-1，1]上是增函数，
∴g（-1）≤g（x）≤g（1），
又∵|f（x）|≤1（-1≤x≤1），|c|≤1，
∴g（1）=a+b=f（1）-c≤|f（1）|+|c|≤2，
g（-1）=-a+b=-f（-1）+c≥-（|f（-1）|+|c|）≥-2，
由此得|g（x）|≤2；
同理 当a＜0时，g（x）=ax+b在[-1，1]上是减函数，
∴g（-1）≥g（x）≥g（1），
又∵|f（x）|≤1（-1≤x≤1），|c|≤1，
∴g（-1）=-a+b=-f（-1）+c≤|f（-1）|+|c|≤2，
g（1）=a+b=f（1）-c≥-（|f（1）|+|c|）≥-2，
由此得|g（x）|≤2；
当a=0时，g（x）=b，f（x）=bx+c．
∵-1≤x≤1，
∴|g（x）|=|f（1）-c|≤|f（1）|+|c|≤2．
综上得|g（x）|≤2．
点评：在高中阶段由于研究函数的角度与初中阶段相比有所变化，因此同样对二次函数来说，高中研究的主要是二次函数性质的应用，如单调性、对称性等，因此解决此类问题的关键是熟练掌握二次函数的图象和性质，并注意和方程思想、分类讨论思想、转化思想、数形结合思想等高中重要数学思想之间的紧密联系．