Question

【题目】数列{an}满足a1=1，nan+1=（n+1）an+n（n+1），n∈N* ．
（1）证明：数列{ }是等差数列；
（2）设bn=3n ，求数列{bn}的前n项和Sn ．

Answer 1

【答案】
（1）证明∵nan+1=（n+1）an+n（n+1），

∴ ，

∴ ，

∴数列{ }是以1为首项，以1为公差的等差数列；

（2）解：由（1）知， ，

∴ ，

bn=3n =n3n，

∴ 3n﹣1+n3n①

3n+n3n+1②

①﹣②得 3n﹣n3n+1

=

=

∴

【解析】（1）将nan+1=（n+1）an+n（n+1）的两边同除以n（n+1）得 ，由等差数列的定义得证．（2）由（1）求出bn=3n =n3n ， 利用错位相减求出数列{bn}的前n项和Sn ．
【考点精析】本题主要考查了等比关系的确定和数列的前n项和的相关知识点，需要掌握等比数列可以通过定义法、中项法、通项公式法、前n项和法进行判断；数列{an}的前n项和sn与通项an的关系才能正确解答此题．