【题目】已知椭圆:在左、右焦点分别为,,上顶点为点,若是面积为的等边三角形.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)已知,是椭圆上的两点,且,求使的面积最大时直线的方程(为坐标原点).
【答案】解(1);(2)或.
【解析】
(1)由是面积为的等边三角形,结合性质 ,列出关于 、 的方程组,求出 、,即可得结果;(2)先证明直线的斜率存在,设直线的方程为,与椭圆方程联立消去,利用弦长公式可得 ,化简得.原点到直线的距离为,的面积,当最大时,的面积最大.由,利用二次函数的性质可得结果.
(1)由是面积为的等边三角形,得,
所以,,从而,
所以椭圆的标准方程为.
(2)由(1)知,当轴时,,则为椭圆的短轴,故有,,三点共线,不合题意.
所以直线的斜率存在,设直线的方程为,点,点,联立方程组消去,得,
所以有,,
则 ,
即,化简得.
因为,所以有且.
原点到直线的距离为,的面积,
所以当最大时,的面积最大.
因为,而,
所以当时,取最大值为3,面积的最大值.
把代入,得,所以有,
即直线的方程为或.
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【题目】已知依次满足
(1)求点的轨迹;
(2)过点作直线交以为焦点的椭圆于两点,线段的中点到轴的距离为,且直线与点的轨迹相切,求该椭圆的方程;
(3)在(2)的条件下,设点的坐标为,是否存在椭圆上的点及以为圆心的一个圆,使得该圆与直线都相切,如存在,求出点坐标及圆的方程,如不存在,请说明理由.
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【题目】40名学生某次数学考试成绩(单位:分)的频率分布直方图如下:
(1)求频率分布直方图中的值;
(2)根据频率分布直方图求出样本数据的中位数 (保留小数点后两位数字)和众数;
(3)从成绩在的学生中任选3人,求这3人的成绩都在中的概率.
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【题目】如图,过椭圆E:(a>b>0)的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆E于P,Q两点,点A,B是椭圆E的顶点,且AB∥OP,F2为右焦点,△PF2Q的周长为8.
(1)求椭圆E的方程;
(2)过点F1作直线l与椭圆E交于C,D两点,若△OCD的面积为,求直线l的方程.
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【题目】如图(一),在直角梯形ABCP中,CP∥AB,CP⊥BC,AB=BC=CP,D是CP的中点,将△PAD沿AD折起,使点P到达点P′的位置得到图(二),点M为棱P′C上的动点.
(1)当M在何处时,平面ADM⊥平面P′BC,并证明;
(2)若AB=2,∠P′DC=135°,证明:点C到平面P′AD的距离等于点P′到平面ABCD的距离,并求出该距离.
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【题目】已知y=f(x)的导函数f′(x)的图像如图所示,则下列结论正确的是( )
A.f(x)在(-3,-1)上先增后减B.x=-2是f(x)极小值点
C.f(x)在(-1,1)上是增函数D.x=1是函数f(x)的极大值点
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