Question

8．已知直线l：2x-y-1=0，动点P（x，y）在直线l上．
（1）若A（0，4），B（-2，0），求|PA|+|PB|的最小值并求此时点P的坐标；
（2）若A（0，4），C（4，1），求|PC|-|PA|的最大值并求此时点P的坐际．

Answer 1

分析 （1）如图所示，设点A关于直线l的对称点A′（x，y），则$\left\{\begin{array}{l}{2×\frac{x+0}{2}-\frac{4+y}{2}-1=0}\\{\frac{y-4}{x-0}×2=-1}\end{array}\right.$，解得A′．连接A′B交直线l于点P，则点P即为所求．
（2）如图所示，由（1）可知：点A关于直线l的对称点A′（4，2），连接CA′并延长交直线l于点P，则点P满足使得|PC|-|PA|取得最大值|A′C|．

解答 解：（1）如图所示，
设点A关于直线l的对称点A′（x，y），
则$\left\{\begin{array}{l}{2×\frac{x+0}{2}-\frac{4+y}{2}-1=0}\\{\frac{y-4}{x-0}×2=-1}\end{array}\right.$，解得A′（4，2）．
连接A′B交直线l于点P，则点P即为所求．
否则在直线l上除了点P以外的任取点P′，则BP′+AP′＞A′B=BP+AP．
∴|PA|+|PB|的最小值=|BA′|=$\sqrt{{6}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{10}$．
直线BA′：$y=\frac{0-2}{-2-4}（x+2）$，化为x-3y+2=0．
联立$\left\{\begin{array}{l}{x-3y+2=0}\\{2x-y-1=0}\end{array}\right.$，解得P（1，1）．
（2）如图所示，
由（1）可知：点A关于直线l的对称点A′（4，2），
连接CA′并延长交直线l于点P（4，7），
则点P满足使得|PC|-|PA|取得最大值|A′C|=1．
否则在直线l上除了点P以外的任取点P′，则|P′C|-|P′A|＜|A′C|．
∴P（4，7）满足使得|PC|-|PA|取得最大值|A′C|=1．

点评 本题考查了轴对称问题、线段的垂直平分线性质、三角形三边大小关系，考查了数形结合能力、推理能力与计算能力，属于中档题．