Question

已知等比数列{a_n}的通项公式为a_n=3^n-1，设数列{b_n}满足对任意自然数n都有

b1

a1

+

b2

a2

+

b3

a3

+┅+

bn

an

=2n+1恒成立．
（1）求数列{b_n}的通项公式；  
（2）求b₁+b₂+b₃+┅+b₂₀₁₁的值．

Answer 1

分析：（1）把已知条件中的n换成n-1得到②，相减可得

bn

an

=2，再由a_n=3^n-1求出数列{b_n}的通项公式．
（2）要求的式子即 3+（2×3+2×3²+…+2×3²⁰¹⁰ ，利用等比数列的前n项和公式，求出要求式子的值．

解答：解：（1）∵对任意正整数n，有

b1

a1

+

b2

a2

+

b3

a3

+┅+

bn

an

=2n+1，①
∴当n≥2时，

b1

a1

+

b2

a2

+

b3

a3

+┅+

bn-1

an-1

=2n-1，②…（4分）
①-②得  

bn

an

=2；  故 b_n=2a_n =2×3^n-1（n≥2）． …（7分）
当n=1时，

b1

a1

=3，
又a₁=1，∴b₁=3．
∴bn=

3，(n=1) 2×3n-1，(n≥2)

． …（10分）
（2）b₁+b₂+b₃+┅+b₂₀₁₁=3+（2×3+2×3²+…+2×3²⁰¹⁰）=3+3（3²⁰¹⁰-1）=3²⁰¹¹．…（15分）

点评：本题主要考查等比数列的通项公式，等比数列的前n项和公式，求得

bn

an

=2，是解题的关键，属于中档题．