Question

已知正项等比数列{a_n}中，a₁=2，a₃=8．数列{b_n}的前n项和为S_n，且S_n=

5

2

n2+

3

2

n．
（1）求a_n，b_n；
（2）若a_n≥b_n+c对一切n∈N^*都成立，求c的最大值；
（3）把数列{a_n}与{b_n}中相同的项按从小到大的顺序排成一列，记数列{c_n}，求满足c_n＞2012的最小正整数n的值．

Answer 1

分析：（1）先确定正项等比数列的公比，可得a_n，利用n≥2时，b_n=S_n-S_n-1，可求b_n；
（2）由题意得：2ⁿ≥5n-1+c对一切n∈N^*都成立，所以c≤2ⁿ-5n+1对一切n∈N^*都成立，令d_n=2ⁿ-5n+1，可得d_n+1-d_n，确定单调性，即可求得c的最大值；
（3）确定数列{c_n}的通项，即可求满足c_n＞2012的最小正整数n的值．

解答：解：（1）正项等比数列{a_n}中，a₁=2，a₃=8，∴q=2，∴a_n=2•2^n-1=2ⁿ．…（2分）
当n=1时，b₁=S₁=1；
当n≥2时，b_n=S_n-S_n-1=5n-1；
∴b₁也满足b_n=5n-1．
综上，b_n=5n-1．…（4分）
（2）由题意得：2ⁿ≥5n-1+c对一切n∈N^*都成立，
所以，c≤2ⁿ-5n+1对一切n∈N^*都成立，
令d_n=2ⁿ-5n+1，所以d_n+1-d_n=2ⁿ-5，…（7分）
当n≤2时，d_n+1＜d_n，{d_n}为递减数列，即d₁＞d₂＞d₃；
当n≥3时，d_n+1＞d_n，{d_n}为递增数列，即d₃＜d₄＜d₅＜…（9分）
所以d_n最小值为d₃=-6，
所以c≤-6，即c的最大值为-6..…（11分）
（3）a1=2，a2=22，a3=23，a4=24，…
b₁=4，b₂=9，b₃=14，b₂=19…
∴数列{a_n}与{b_n}中相同的项按从小到大的顺序排成一列为数列{c_n}，即
c1=4=22，c2=64=26，c3=210，c4=214，…
∴c3=210＜2012，c4=214＞2012，
所以满足c_n＞2012的最小正整数n的值为4．…（16分）

点评：本题考查等差数列与等比数列的通项，考查数列的单调性，考查恒成立问题，考查学生分析解决问题，难度较大，综合性强．