【题目】如图,四棱锥中,侧面底面, , , , , ,点在棱上,且,点在棱上,且平面.
(1)求证: 平面;
(2)求二面角的余弦值.
【答案】(1)详见解析(2)
【解析】试题分析:连接交于点,根据三角形相识,可得, ,由勾股定理可得是直角三角形,进而得,再由面面垂直判定定理可得结论;(2)以, , 所在直线分别为轴, 轴, 轴建立空间直角坐标系,求出平面的法向量与平面的法向量,利用空间向量夹角余弦公式可得结果.
试题解析:(1)如图连接交于点,因为平面,所以,由,所以,又,所以,
所以, ,
又因为,所以是直角三角形,
又,所以,
又因为侧面底面,所以平面.
(2)因为, ,所以,有,如图,以, , 所在直线分别为轴, 轴, 轴建立空间直角坐标系,
则, , ,
,所以,
所以 ,
设平面的法向量为,
则,
,令,则,所以,
又因为平面的法向量,
所以,
即所求二面角的余弦值是.
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【题目】已知数列{an}满足a1=9,an+1=an+2n+5;数列{bn}满足b1= ,bn+1= bn(n≥1).
(1)求an , bn;
(2)记数列{ }的前n项和为Sn , 证明: ≤Sn< .
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【题目】《中国诗词大会》是中央电视台最近推出的一档有重大影响力的大型电视文化节目,今年两会期间,教育部部长陈宝生答记者问时就给予其高度评价.基于这样的背景,山东某中学积极响应,也举行了一次诗词竞赛.组委会在竞赛后,从中抽取了部分选手的成绩(百分制),作为样本进行统计,作出了图1的频率分布直方图和图2的茎叶图(但中间三行污损,看不清数据).
(I)求样本容量和频率分布直方图中的,的值;
(II)分数在[80,90)的学生中,男生有2人,现从该组抽取三人“座谈”,写出基本事件空间并求至少有两名女生的概率.
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【题目】如图,已知抛物线:,过焦点斜率大于零的直线交抛物线于、两点,且与其准线交于点.
(Ⅰ)若线段的长为,求直线的方程;
(Ⅱ)在上是否存在点,使得对任意直线,直线,,的斜率始终成等差数列,若存在求点的坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】选修4-4;坐标系与参数方程
在直角坐标系中,直线的参数方程为(为参数).在以坐标原点为极点, 轴正半轴为极轴的极坐标中,曲线.
(Ⅰ)求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程.
(Ⅱ)求曲线上的点到直线的距离的最大值.
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【题目】已知函数, 为实常数.
(Ⅰ)设,当时,求函数的单调区间;
(Ⅱ)当时,直线、与函数、的图象一共有四个不同的交点,且以此四点为顶点的四边形恰为平行四边形.
求证: .
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