Question

设f（x）=

-x2+2x+1(x≥0) e-x(x＜0)

关于x的方程f（x）=m（m∈R）恰有三个互不相等的实数根x₁，x₂，x₃，则x₁x₂x₃的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：函数的零点与方程根的关系

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：先确定0＜m＜2，当m=2时，确定x₁的范围，利用x₂，x₃关于x=1对称，结合配方法，可得0＜x₂x₃＜1，从而可求x₁x₂x₃的取值范围．

解答： 解：依题意得关于x的方程f（x）=m，（m∈R）恰有三个互不相同的实数根x₁，x₂，x₃，不妨设x₁＜x₂＜x₃，则
∵x≥0，f（x）=-x²+2x+1=-（x-1）²+2，∴0＜m＜2，
当m=2时，由e^-x=2，∴x=-ln2，∴-ln2＜x₁＜0，
又x₂，x₃关于x=1对称，则x₂+x₃=2，x₂x₃=-（x₂-1）²+1，
∴0＜x₂x₃＜1，
∴-ln2＜x₁x₂x₃＜0．
故答案为：（-ln2，0）．

点评：本题考查分段函数的运用，考查方程根，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．