Question

（2012•资阳二模）△ABC中，角A、B、C对边分别是a、b、c，满足2

AB

•

AC

=a2-(b+c)2．
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）求2

3

cos2

C

2

-sin(

4π

3

-B)的最大值，并求取得最大值时角B、C的大小．

Answer 1

分析：（Ⅰ）通过化简向量的表达式，利用余弦定理求出A的余弦值，然后求角A的大小；
（Ⅱ）通过A利用2012年6月7日 17：54：00想的内角和，化简2

3

cos2

C

2

-sin(

4π

3

-B)为C的三角函数，通过C的范围求出表达式的最大值，即可求出最大值时角B、C的大小．

解答：解 （Ⅰ）由已知2

AB

•

AC

=a2-(b+c)2，
化为2bccosA=a²-b²-c²-2bc，（2分）
由余弦定理a²=b²+c²-2bccosA得4bccosA=-2bc，
∴cosA=-

1

2

，（4分）
∵0＜A＜π，∴A=

2π

3

．（6分）
（Ⅱ）∵A=

2π

3

，∴B=

π

3

-C，0＜C＜

π

3

．
2

3

cos2

C

2

-sin(

4π

3

-B)=2

3

×

1+cosC

2

+sin(

π

3

-B)
=

3

+2sin(C+

π

3

)．（8分）
∵0＜C＜

π

3

，∴

π

3

＜C+

π

3

＜

2π

3

，
∴当C+

π

3

=

π

2

，2

3

cos2

C

2

-sin(

4π

3

-B)取最大值2+

3

，
解得B=C=

π

6

．（12分）

点评：本题借助向量的数量积考查余弦定理以及三角函数的最值，考查计算能力．