Question

19．已知下列两种说法：
①方程x²+mx+1=0有两个不同的负根；
②方程4x²+4（m-2）x=1=0无实根．
（1）若①和②都成立，求实数m的范围；
（2）若①和②中至少有一个成立，求实数m的范围；
（3）若①和②中有且只有一个成立，求实数m的范围．

Answer 1

分析 首先求得两方程①②满足条件时对应的实数m的范围，（1）若①和②都成立时求两范围的交集，（2）若①和②中至少有一个成立时要分情况，①成立②不成立，①不成立②成立，①②都成立分别求解实数m的范围；（3）若①和②中有且只有一个成立则①成立②不成立，①不成立②成立两种情况．

解答 解：∵关于x的方程x²+mx+1=0有两个不等的负实数根，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{m}^{2}-4＞0}\\{m＞0}\end{array}\right.$，解得m＞2；
∵方程4x²+4（m-2）x+1=0无实根，
∴16（m-2）²-16＜0，∴1＜m＜3使①成立的m的集合为A={m|m＞2}，
使②成立的m的集合为B={m|1＜m＜3}．
（1）若①和②都成立，即A∩B={m|2＜m＜3}．
（2）若①和②中至少有一个成立，即A∪B={m|m＞1}；
（3）若①和②中有且只有一个成立，即$\left\{\begin{array}{l}{m＞2}\\{m≤1或m≥3}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{m≤2}\\{1＜m＜3}\end{array}\right.$，
∴实数m的范围{m|1＜m≤2或m≥3}．（12分）

点评 本题考查方程根的研究，考查集合的关系，考查学生的计算能力，属于中档题．