Question

20．已知$f（α）=\frac{{sin（α-\frac{π}{2}）cos（\frac{3π}{2}+α）tan（π-α）}}{tan（-α-π）sin（-α-π）}，（-\frac{π}{2}＜α＜\frac{π}{2}）$
（Ⅰ）若$cos（α-\frac{3π}{2}）=\frac{1}{5}$，求f（α）的值．
（Ⅱ）若$sin（α-\frac{π}{6}）=-\frac{1}{5}$，求$f（α+\frac{π}{3}）$的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由三角函数的诱导公式化简f（α），再根据角的范围计算得答案．
（Ⅱ）由三角函数的诱导公式化简计算得答案．

解答 解：f（α）=$\frac{sin（α-\frac{π}{2}）cos（\frac{3π}{2}+α）tan（π-α）}{tan（-α-π）sin（-α-π）}$=$\frac{-cosα•sinα•（-tanα）}{-tanα•sinα}$=-cosα，
（Ⅰ）若$cos（α-\frac{3π}{2}）=\frac{1}{5}$，则有-sinα=$\frac{1}{5}$，即sinα=-$\frac{1}{5}$．
再由$-\frac{π}{2}＜α＜\frac{π}{2}$，可得cosα=$\frac{2\sqrt{6}}{5}$．
∴f（α）=-cosα=$-\frac{2\sqrt{6}}{5}$．
（Ⅱ）$f（α+\frac{π}{3}）$=$-cos（α+\frac{π}{3}）$=$-（cosαcos\frac{π}{3}-sinαsin\frac{π}{3}）$
=$-（\frac{1}{2}cosα-\frac{\sqrt{3}}{2}sinα）$=$\frac{\sqrt{3}}{2}sinα-\frac{1}{2}cosα$=$sin（α-\frac{π}{6}）=-\frac{1}{5}$．

点评 本题考查了三角函数的化简求值，考查了三角函数的诱导公式，是中档题．