Question

已知函数f（x）=5sinxcosx-5

3

cos²x+

5 3

2

．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）求f（x）的单调递增区间，并求出f（x）在[

π

3

，

5π

6

]上的最大值与最小值．

Answer 1

考点：复合三角函数的单调性,二倍角的正弦

专题：三角函数的求值

分析：（Ⅰ）由三角函数公式化简可得f（x）=5sin(2x-

π

3

)，易得最小正周期；
（Ⅱ）由-

π

2

+2kπ≤2x-

π

3

≤

π

2

+2kπ解不等式可得f（x）的递增区间，由

π

3

≤x≤

5π

6

，可得

π

3

≤2x-

π

3

≤

4π

3

，进而求三角函数可得最值．

解答： 解：（Ⅰ）化简可得f（x）=5sinxcosx-5

3

cos²x+

5 3

2

=

5

2

sin2x-5

3

1+cos2x

2

+

5 3

2

=

5

2

sin2x-5

3

cos2x=5(sin2xcos

π

3

-cos2xsin

π

3

)=5sin(2x-

π

3

)
∴最小正周期T=

2π

2

=π
（Ⅱ）由-

π

2

+2kπ≤2x-

π

3

≤

π

2

+2kπ得-

π

12

+kπ≤x≤

5π

12

+kπ(k∈Z)，
∴f（x）的递增区间是[-

π

12

+kπ，

5π

12

+kπ](k∈Z)，
∵

π

3

≤x≤

5π

6

，∴

π

3

≤2x-

π

3

≤

4π

3

，
∴f(x)min=-

5 3

2

，f(x)max=5．

点评：本题考查三角函数的周期性和单调性以及最值，属基础题．