Question

9．已知函数f（x）=cosx+xsinx-m，x∈[-π，π]，若f（x）有4个零点，则m的取值范围为（1，$\frac{π}{2}$）．

Answer 1

分析 问题转化为m=cosx+xsinx，令g（x）=cosx+xsinx，求出g（x）函数的导数，解关于导函数的不等式，由余弦函数的图象和性质，即可得到函数g（x）的单调区间，求出g（x）的极小值和极大值以及端点值，只需y=m和g（x）有4个交点即可．

解答 解：令f（x）=xsinx+cosx-m=0，
则m=cosx+xsinx，
令g（x）=cosx+xsinx，
则g′（x）=sinx+xcosx-sinx=xcosx，
令g′（x）＞0，即有xcosx＞0，
即有 $\left\{\begin{array}{l}{x＞0}\\{cosx＞0}\end{array}\right.$或 $\left\{\begin{array}{l}{x＜0}\\{cosx＜0}\end{array}\right.$，
解得，x∈（0，$\frac{π}{2}$）或（2kπ-$\frac{π}{2}$，2kπ+$\frac{π}{2}$）（（k为正整数）
或（2kπ+$\frac{π}{2}$，2kπ+$\frac{3π}{2}$）（k为负整数）．
由于x∈[-π，π]，则增区间为（0，$\frac{π}{2}$），[-π，-$\frac{π}{2}$），
同理解得，减区间为（$\frac{π}{2}$，π]，（-$\frac{π}{2}$，0），
∴g（x）_极小值=g（0）=cos0=1，g（x）_极大值=g（-$\frac{π}{2}$）=g（$\frac{π}{2}$）=$\frac{π}{2}$，
而g（-π）=-1，g（π）=1，
若f（x）有4个零点，即y=m和g（x）=cosx+xsinx有4个交点，
故1＜m＜$\frac{π}{2}$，
故答案为（1，$\frac{π}{2}$）．

点评 本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用以及函数的零点问题，考查转化思想，是一道中档题．