Question

设a>0,f(x)=是R上的偶函数，(1)求a的值；(2)证明: f(x)在(0，+∞)上是增函数.

Answer 1

(1) a=1 (2) 证明略

 依题意，对一切x∈R,有f(x)=f(－x),
即+ae^x 整理，得(a－)(e^x－)=0.
因此，有a－=0,即a²=1,又a>0,∴a=1.
(2)证法一（定义法）: 设0＜x₁＜x₂,
则f(x₁)－f(x₂)=

由x₁>0,x₂>0,x₂>x₁,∴>0,1－e＜0,
∴f(x₁)－f(x₂)＜0,即f(x₁)＜f(x₂)
∴f(x)在(0,+∞)上是增函数.
证法二（导数法）: 由f(x)=e^x+e^－x，得f′(x)=e^x－e^－x=e^－x·(e^2x－1).当x∈(0,+∞)时，e^－x>0,e^2x－1>0.
此时f′(x)>0,所以f(x)在［0，+∞)上是增函数.