Question

6．已知-$\frac{π}{6}$＜α＜$\frac{π}{6}$，且cos（α+$\frac{π}{6}$）=$\frac{4}{5}$，则sin（2α+$\frac{π}{12}$）的值为（　　）

• A． $\frac{17\sqrt{2}}{50}$
• B． $\frac{31\sqrt{2}}{50}$
• C． $\frac{7\sqrt{2}}{10}$
• D． $\frac{\sqrt{2}}{10}$

Answer 1

分析 利用“构造思想”，结合二倍角和和与差的公式即可求解．

解答 解：sin（2α+$\frac{π}{12}$）=sin（α+$+\frac{π}{4}$+α+$\frac{π}{3}$）=2sin（$α+\frac{π}{6}$）cos（$α+\frac{π}{6}$），
∵-$\frac{π}{6}$＜α＜$\frac{π}{6}$，
∴0＜$α+\frac{π}{6}$＜$\frac{π}{3}$，
∴0＜2α+$\frac{π}{3}$＜$\frac{2π}{3}$，
cos（α+$\frac{π}{6}$）=$\frac{4}{5}$，
可得sin（$α+\frac{π}{6}$）=$\frac{3}{5}$，
则sin（2$α+\frac{π}{3}$）=2sin（$α+\frac{π}{6}$）cos（$α+\frac{π}{6}$）=$\frac{24}{25}$，
则cos（2$α+\frac{π}{3}$）=$\frac{7}{25}$，
∴sin（2α+$\frac{π}{12}$）=sin（2$α+\frac{π}{3}$$-\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{2}}{2}（\frac{24}{25}-\frac{7}{25}）$=$\frac{17\sqrt{2}}{50}$．
故选：A．

点评 本题考查了“构造思想”，以及二倍角和和与差的公式的灵活运用．属于中档题．