Question

对于三次函数f（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0）定义：设f′（x）是函数y=f（x）的导数y=f′（x）的导数，若方程f′（x）=0有实数解x₀，则称点（x₀f（x））为函数y=f（x）的“拐点”．已知函数f（x）=x³-6x²+5x+4，请回答下列问题．（1）求函数f（x）的“拐点”A的坐标
（2）检验函数f（x）的图象是否关于“拐点”A对称，对于任意的三次函数写出一个有关“拐点”的结论；
（3）写出一个三次函数G（x），使得它的“拐点”是（1，3）（不要过程）

Answer 1

解：（1）依题意，得：f′（x）=3x²-12x+5，∴f′′（x）=6x-12=0，得x=2
所以拐点坐标是（2，-2）
（2）设（x₁，y₁）与（x，y）关于（2，-2）中心对称，并且（x₁，y₁）在f（x），所以就有，
由y₁=x₁³-6x₁²+5x₁+4，得-4-y=（4-x）³-6（4-x）²+5（x-4）+4
化简的：y=x³-6x²+5x+4
所以（x，y）也在f（x）上，故f（x）关于点（2，-2）对称．
三次函数f（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0）的“拐点”是（-，f（-）），它就是函数f（x）的对称中心
（或者：任何一个三次函数都有拐点；任何一个三次函数都有对称中心；任何一个三次函数平移后可以是奇函数）．
（3），G（x）=a（x-1）³+b（x-1）²+3（a≠0），或写出一个具体函数，如G（x）=x³-3x²+3x+2，或G（x）=x³-3x²+5x
分析：第一问通过对函数f（x）二次求导可求出拐点的坐标．第二问考查对称，求出对称点坐标，代入验证即可；第三问是开放型题目，只要满足条件即可．
点评：本题主考查函数的拐点，对称性．考查学生利用导数解题的能力．一般的，三次函数f（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0）的“拐点”是（-，f（-）），它就是函数f（x）的对称中心（或者：任何一个三次函数都有拐点；任何一个三次函数都有对称中心；任何一个三次函数平移后可以是奇函数）．