Question

已知函数f（x）=ax³+bx²+cx+d的图象如图所示，k∈R，则f（k）+f（-k）的值一定（　　）

A．等于0

B．不小于0

C．小于0

D．不大于0

Answer 1

分析：由图象可知：经过原点，可得f（0）=0=d，即f（x）=ax³+bx²+cx．于是f（k）+f（-k）=2bk²．由图象可得：函数f（x）在[-1，1]上单调递减，函数f（x）在x=-1处取得极大值．可得f′（x）≤0在[-1，1]上恒成立，且f′（-1）=0．即可得到b＜0，进而得出结论．

解答：解：由图象可知：经过原点，∴f（0）=0=d，
∴f（x）=ax³+bx²+cx．
∴f（k）+f（-k）=2bk²．
由图象可得：函数f（x）在[-1，1]上单调递减，函数f（x）在x=-1处取得极大值．
∴f′（x）=3ax²+2bx+c≤0在[-1，1]上恒成立，且f′（-1）=0．
得到3a-2b+c=0，f′（1）=3a+2b+c＜0，
两式相加得到b＜0，
∴f（k）+f（-k）=2bk²≤0．
故选D．

点评：本题综合考查了利用导数研究函数的单调性极值、数形结合等基础知识与基本方法，属于中档题．