Question

已知幂函数y=xm2-2m-3(m∈N*)的图象关于y轴对称，且在（0，+∞）上是减函数，求满足(a+1)

m

3

＜(3-2a)

m

3

的实数a的取值范围．

Answer 1

分析：幂函数y=x^α的图象关于y轴对称，且在（0，+∞）上是减函数．则必须满足α为偶数且α＜0，则易得m的值．再根据幂函数y=x^α的单调性，求满足(a+1)

m

3

＜(3-2a)

m

3

的a的取值范围．

解答：解：∵函数在（0，+∞）上递减，
∴m²-2m-3＜0即-1＜m＜3，又m∈N^*
∴m=1或2，又函数图象关于y轴对称，
∴m²-2m-3为偶函数，故m=1为所求．
∴函数y=x -

1

3

在（-∞，0），（0，+∞）上均为减函数
∴(a+1)

m

3

＜(3-2a)

m

3

等价于a+1＞3-2a＞0或0＞a+1＞3-2a或a+1＜0＜3-2a，
解得a＜-1或

2

3

＜a＜

3

2

．
故a的取值范围为（-∞，-1）∪（

2

3

，

3

2

）．

点评：幂函数y=x^α，α＜0时则为减函数；α＞0时，幂函数为增函数．要注意α的不同，其定义域是不同的．解不等式时要注意．