Question

19．设f（x）是定义在实数集R上的奇函数，当x＞0时，$f（x）=\frac{k}{x+1}，k∈R，k≠0$．．
（1）当k=1时，求f（x）的解析式；
（2）已知0＜x＜1时，f（x）＞1恒成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）把k=1代入函数解析式，由x＜0，可得-x＞0，然后利用函数奇偶性及x＞0时的解析式得答案；
（2）由f（x）＞1恒成立，可得$\frac{k}{x+1}＞1$在（0，1）上恒成立，转化为k＞x+1在（0，1）上恒成立，求出x+1的范围得答案．

解答 解：（1）由f（x）是定义在实数集R上的奇函数，当x＞0时，$f（x）=\frac{1}{x+1}$．
当x＜0时，-x＞0，则f（x）=-f（-x）=-[$\frac{1}{-x+1}$]=$\frac{1}{x-1}$；
当x=0时，f（0）=0．
∴$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{x-1}，x＜0}\\{0，x=0}\\{\frac{1}{x+1}，x＞0}\end{array}\right.$；
（2）由$\frac{k}{x+1}＞1$在（0，1）上恒成立，
∵x+1＞0，∴k＞x+1在（0，1）上恒成立，
∵x+1∈（1，2），
∴k≥2．
即k的取值范围为[2，+∞）．

点评 本题考查恒成立问题，考查函数解析式的求解及常用方法，是中档题．