Question

已知以角B为钝角的△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，

m

=(a，  2b)，

n

=(

3

，  -sinA)，且

m

⊥

n

．
（1）求角B的大小；
（2）求sinA-

3

cosC的取值范围．

Answer 1

分析：（1）通过向量的垂直，以及正弦定理求出B的正弦值，然后求出B．
（2）求出sinA-

3

cosC的表达式，结合C的范围，求出表达式的范围即可．

解答：解：（1）∵

m

⊥

n

．∴

m

•

n

=0，得

3

a-2bsinA=0（2分）
由正弦定理，得a=2RsinA，b=2RsinB，
代入得：

3

sinA-2sinBsinA=0，sinA≠0，
∴sinB=

3

2

，B为钝角，
所以角B=

2π

3

．
（2）∵sinA-

3

cosC=-2sin(C+

π

3

)，
由（1）知 C∈(0，

π

3

)，C+

π

3

∈(

π

3

，

2π

3

)，
∴sin(C+

π

3

)∈(

3

2

，1]，
故sinA-

3

cosC的取值范围是[-1，-

3

2

)（12分）

点评：本题考查向量的数量积的应用，三角函数的值域的求法，正弦定理的应用，考查计算能力．