Question

20．已知函数$f（x）=\frac{1}{3}{x^3}-e{x^2}+mx+1（{m∈R}）$，$g（x）=\frac{lnx}{x}$．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）对任意的两个正实数x₁，x₂，若g（x₁）＜f'（x₂）恒成立（f'（x）表示f（x）的导数），求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数的导数，通过讨论m的范围，求出函的单调区间即可；
（Ⅱ）求出函数的导数，得到函数g（x）的单调区间，求出g（x）的最大值以及f（x）的最小值，从而求出m的范围即可．

解答 解：（Ⅰ）由已知可得，f'（x）=x²-2ex+m，令△=4（e²-m），…（1分）
①当m≥e²时，f'（x）≥0，
所以f（x）在R上递增．
②当m＜e²，△＞0，
令$f'（x）＞0⇒x＜e-\sqrt{{e^2}-m}$或$x＞e+\sqrt{{e^2}-m}$，
所以f（x）在$（{-∞，e-\sqrt{{e^2}-m}}）$和$（{e+\sqrt{{e^2}-m}，+∞}）$上递增，
令$f'（x）＜0⇒e-\sqrt{{e^2}-m}＜x＜e+\sqrt{{e^2}-m}$，
所以f（x）在$（{e-\sqrt{{e^2}-m}，e+\sqrt{{e^2}-m}}）$上递减．…（6分）
（Ⅱ）因为$g'（x）=\frac{1-lnx}{x^2}（{x＞0}）$，
令g'（x）=0时，x=e，
所以g（x）在（0，e）上递增，在（e，+∞）上递减．
所以$g{（x）_{max}}=g（e）=\frac{1}{e}$．…（8分）
又因为f'（x）=（x-e）²+m-e²．…（10分）
所以当x＞0时，$f'{（x）_{min}}=m-{e^2}$．
所以$?{x_1}，{x_2}∈{R^+}$，g（x₁）＜f'（x₂）?g（x₁）_max＜f'（x₂）_min，
所以$\frac{1}{e}＜m-{e^2}$，即$m＞{e^2}+\frac{1}{e}$，
故$m∈（{{e^2}+\frac{1}{e}，+∞}）$．…（12分）

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，是一道综合题．