分析 (Ⅰ)求函数的导数,根据导数的几何意义结合切线方程,即可得到结论.
(Ⅱ)构造函数g(x)=f(x)-x2+2x,求函数的导数,利用导数研究函数的极值和最值即可证明不等式.
(Ⅲ)利用导数以及函数的最值即可得到结论.
解答 (Ⅰ)解:定义域为(-1,+∞),$f'(x)=\frac{2}{x+1}$.
由题意,f'(x0)=2,所以x0=0,f(0)=0,即切点P的坐标为(0,0).…(3分)
(Ⅱ)证明:当x∈[0,e-1]时,f(x)≥x2-2x,可转化为
当x∈[0,e-1]时,f(x)-x2+2x≥0恒成立.
设g(x)=f(x)-x2+2x,
所以原问题转化为当x∈[0,e-1]时,g(x)min≥0恒成立.
所以$g'(x)=\frac{2}{x+1}-2x+2=\frac{{4-2{x^2}}}{x+1}$.
令g'(x)=0,则${x_1}=-\sqrt{2}$(舍),${x_2}=\sqrt{2}$.
所以g(x),$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$.变化如下:
x | 0 | $(0,\sqrt{2})$ | $\sqrt{2}$ | $(\sqrt{2},e-1)$ | e-1 |
$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$. | + | 0 | - | ||
g(x) | g(0) | ↗ | 极大值 | ↘ | g(e-1) |
x | 0 | (0,x2) | x2 | (x2,+∞) |
h'(x) | - | 0 | + | |
h(x) | ↘ | 极小值 | ↗ |
点评 本题主要考查导数的综合应用,根据导数的几何意义建立方程关系求出a的值是解决本题的关键.利用构造函数,利用导数研究函数的单调性和极值是证明不等式的常用方法.
科目:高中数学 来源: 题型:填空题
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科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | 甲同学的阅读表达成绩排名比他的逻辑思维成绩排名更靠前 | |
B. | 乙同学的逻辑思维成绩排名比他的阅读表达成绩排名更靠前 | |
C. | 甲、乙、丙三位同学的逻辑思维成绩排名中,甲同学更靠前 | |
D. | 乙同学的总成绩排名比丙同学的总成绩排名更靠前 |
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科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | 5$\sqrt{3}$ | B. | 30$\sqrt{3}$ | C. | $\frac{{10\sqrt{3}}}{3}$ | D. | 10$\sqrt{3}$ |
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科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | -140 | B. | 50 | C. | 124 | D. | 156 |
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
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