Question

如图，四边形ABCD是正方形，△PAB与△PAD均是以A为直角顶点的等腰直角三角形，点F是PB的中点，点E是边BC上的任意一点．
（1）求证：AF⊥EF；
（2）求二面角A-PC-B的平面角的正弦值．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,空间中直线与直线之间的位置关系

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）由已知得PA⊥AD，PA⊥AB，AB⊥BC，从而PA⊥BC，进而BC⊥面PAB，又AF⊥PB，由此能证明AF⊥EF．
（2）以A为原点，AD为x轴，AB为y轴，P为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A-PC-B的平面角的正弦值．

解答： （1）证明：∵四边形ABCD是正方形，△PAB与△PAD均是以A为直角顶点的等腰直角三角形，
∴PA⊥AD，PA⊥AB，又AD∩AB=A，AB⊥BC，
∴PA⊥平面ABCD，又BC?面ABCD，∴PA⊥BC，
∵AB∩PA=A，∴BC⊥面PAB，
∴BC⊥AF，
∵△PAB是以A为直角顶点的等腰直角三角形，F是PB中点，
∴AF⊥PB，
又PB∩BC=B，∴AF⊥平面PBC，
∵EF?平面PBC，∴AF⊥EF．
（2）解：以A为原点，AD为x轴，AB为y轴，P为z轴，
建立空间直角坐标系，
设AB=1，则A（0，0，0），B（0，1，0），C（1，1，0），P（0，0，1），

AP

=（0，0，1），

AC

=（1，1，0），
设平面APC的法向量

n

=（x，y，z），
则

n • AP =z=0 n • AC =x+y=0

，取x=1，得

n

=（1，-1，0），

PB

=（0，1，-1），

PC

=（1，1，-1），
设平面PBC的法向量

m

=（a，b，c），
则

m • PB =b-c=0 m • PC =a+b-c=0

，取b=1，得

m

=（0，1，1），
|cos＜

n

，

m

＞|=|

-1

2 × 2

|=

1

2

，
∴＜

n

，

m

＞=60°，又sin60°=

3

2

，
∴二面角A-PC-B的平面角的正弦值为

3

2

．

点评：本题考查空间线面关系、几何体的体积等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力．