Question

18．（x²-x+2）⁵的展开式中x³的系数为（　　）

• A． -20
• B． -200
• C． -40
• D． -400

Answer 1

分析 先求得二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于3，求得r、r′的值，即可求得x³项的系数．

解答 解：式子（x²-x+2）⁵ =[（x²-x）+2]⁵的展开式的通项公式为T_r+1=${C}_{5}^{r}$•（x²-x）^5-r•2^r，
对于（x²-x）^5-r，它的通项公式为T_r′+1=（-1）^r′•${C}_{5-r}^{r′}$•x^10-2r-r′，
其中，0≤r′≤5-r，0≤r≤5，r、r′都是自然数．
令10-2r-r′=3，可得 $\left\{\begin{array}{l}{r=2}\\{r′=3}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{r=3}\\{r′=1}\end{array}\right.$，
故x³项的系数为${C}_{5}^{2}$•2²•（-${C}_{5}^{3}$）+${C}_{5}^{3}$•2³•（-${C}_{2}^{1}$）=-200，
故选：B．

点评 本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，属于中档题．