Question

已知为半圆的直径，，为半圆上一点，过点作半圆的切线，过点作于，交圆于点，．

（Ⅰ）求证：平分；

（Ⅱ）求的长．

 

Answer 1

【答案】

（1）证明过程详见解析；（2）.

【解析】

试题分析：本题主要以圆为几何背景考查线线平行、线线垂直的证明，证明角之间的相等关系以及四点共圆的证明及性质的应用，考查学生的转化能力与化归能力和推理论证能力.第一问，利用圆中的半径长都相等得出和相等，而为圆的切线，所以，所以会得出，所以，最终得出与相等，所以得出平分；第二问，利用第一问的结论，得出，而共圆，可得到与相等，所以在与中，分别求出与，求出的长.

试题解析：（Ⅰ）连结，因为，所以，2分

因为为半圆的切线，所以，又因为，所以∥，

所以，，所以平分．4分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，6分

连结，因为四点共圆，，所以，8分

所以，所以．10分

考点：1.内错角相等；2.四点共圆；3.直角三角形中的计算.