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函数f(x)定义在区间[a,b]上,设“min{f(x)|x∈D}”表示函数f(x)在集合D上的最小值,“max{f(x)|x∈D}”表示函数f(x)在集合D上的最大值.现设f1(x)=min{f(t)|a≤t≤x}(x∈[a,b]),f2(x)=max{f(t)|a≤t≤x}(x∈[a,b]),
若存在最小正整数k,使得f2(x)-f1(x)≤k(x-a)对任意的x∈[a,b]成立,则称函数f(x)为区间[a,b]上的“第k类压缩函数”.
(Ⅰ) 若函数f(x)=x3-3x2,x∈[0,3],求f(x)的最大值,写出f1(x),f2(x)的解析式;
(Ⅱ) 若m>0,函数f(x)=x3-mx2是[0,m]上的“第3类压缩函数”,求m的取值范围.

解:(Ⅰ)由于f'(x)=3x2-6x,
令f'(x)=3x2-6x>0得2<x<3;f'(x)=3x2-6x<0得0<x<2
故f(x)在[0,2]上单调递减,在[2,3]上单调递增.
所以,f(x)的最大值为max{f(0),f(3)}=0.…(3分)
,…(6分)
f2(x)=0,…(9分)
(Ⅱ)由于f'(x)=3x2-2mx,
故f(x)在上单调递减,在上单调递增,
而f(0)=f(m)=0,
,f2(x)=0,
.…(11分)
设对正整数k有f2(x)-f1(x)≤kx对x∈[0,m]恒成立,
当x=0时,k∈N*均成立;
时,恒成立,


时,恒成立,


所以,
又f(x)是[0,m]上的“第3类压缩函数”,

所以,.…(14分)
分析:(I)求出导函数,令导函数大于0求出x的范围即为递增区间;令导函数小于0求出x的范围即为递减区间,利用f1(x),f2(x)的定义,求出它们的解析式.
(II)求出函数f(x)=x3-mx2的导函数,通过导数判断出其单调性,得到f1(x),f2(x)的解析式,根据“第3类压缩函数”的定义列出不等式,求出m的范围.
点评:本题主要考查学生的对新问题的接受、分析和解决的能力.要求学生要有很扎实的基本功才能作对这类问题.
练习册系列答案
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科目:高中数学 来源: 题型:

(2008•奉贤区一模)我们将具有下列性质的所有函数组成集合M:函数y=f(x)(x∈D),对任意x,y,
x+y
2
∈D
均满足f(
x+y
2
)≥
1
2
[f(x)+f(y)]
,当且仅当x=y时等号成立.
(1)若定义在(0,+∞)上的函数f(x)∈M,试比较f(3)+f(5)与2f(4)大小.
(2)设函数g(x)=-x2,求证:g(x)∈M.
(3)已知函数f(x)=log2x∈M.试利用此结论解决下列问题:若实数m、n满足2m+2n=1,求m+n的最大值.

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(2012•顺义区二模)对于定义域为A的函数f(x),如果任意的x1,x2∈A,当x1<x2时,都有f(x1)<f(x2),则称函数f(x)是A上的严格增函数;函数f(k)是定义在N*上,函数值也在N*中的严格增函数,并且满足条件f(f(k))=3k.
(Ⅰ)判断函数f(3x)=2×3x(x∈N)是否是N上的严格增函数;
(Ⅱ)证明:f(3k)=3f(k);
(Ⅲ)是否存在正整数k,使得f(k)=2012,若存在求出k值;若不存在请说明理由.

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(2013•东坡区一模)若对于定义在R上的函数f(x),其图象是连续不断的,且存在常数λ(λ∈R)使得f(x+λ)+λf(x)=0对任意实数x都成立,则称f(x) 是一个“λ-伴随函数”.有下列关于“λ-伴随函数”的结论:
①f(x)=0 是常数函数中唯一个“λ-伴随函数”;
②f(x)=x不是“λ-伴随函数”;
③f(x)=x2是一个“λ-伴随函数”; 
④“
12
-伴随函数”至少有一个零点.
其中不正确的序号是
①③
①③
(填上所有不正确的结论序号).

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(2013•青浦区一模)已知函数f(x)是定义在R上的单调增函数且为奇函数,数列{an}是等差数列,a1007>0,则f(a1)+f(a2)+f(a3)+…+f(a2012)+f(a2013)的值(  )

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(2012•香洲区模拟)已知向量
m
=(-2sinx,-1),
n
=(-cosx,cos2x)
,定义f(x)=
m
n

(1)求函数f(x)的表达式,并求其单调增区间;
(2)在锐角△ABC中,角A、B、C对边分别为a、b、c,且f(A)=1,bc=8,求△ABC的面积.

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