Question

双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的两个焦点为F₁、F₂，若P为其上一点，且|PF₁|=2|PF₂|，则双曲线离心率的取值范围为：A．（1，3）；B．（1，3]；C．（3，+∞）；D．[3，+∞）”其正确选项是B．若将其中的条件“|PF₁|=2|PF₂|”更换为“|PF₁|=k|PF₂|，k＞0且k≠1”，试经过合情推理，得出双曲线离心率的取值范围是

 

．（用k表示）

Answer 1

分析：开区间前端点是1，关键看后端点的值与|PF₂|前边的系数的关系，由3=

2+1

|2-1|

，联想系数为k时，后端点是

k+1

|k-1|

，从而得出答案．

解答：解：∵|PF₁|=2|PF₂|，则双曲线离心率的取值范围为：A．（1，3）； B．（1，3]； C．（3，+∞）； D．[3，+∞）”
其正确选项是B，区间前端点为1，后端点为3=

3

1

=

2+1

2-1

，
若将其中的条件“|PF₁|=2|PF₂|”更换为“|PF₁|=k|PF₂|，k＞0且k≠1”，试经过合情推理，
得出双曲线离心率的取值范围是开区间，前端点为1，后端点为

k+1

|k-1|

，
∴双曲线离心率的取值范围是(1，

k+1

|k-1|

)；
故答案为(1，

k+1

|k-1|

)．

点评：本题考查合情推理的能力．