Question

2．如图所示，AD∥BC∥EF，平面ADFE⊥平面BCFE，AE⊥EF，BE⊥EF，AD=AE=BE=2，EF=3，BC=4，G为BC的中点．
（1）求证：BD⊥EG；
（2）求二面角D-BF-C的余弦值．

Answer 1

分析 （1）由已知结合面面垂直的性质得到EB、EF、EA两两垂直．以点E为坐标原点，EB、EF、EA所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，结合已知求出点的坐标，得到$\overrightarrow{BD}、\overrightarrow{EG}$的坐标，由数量积为0证明BD⊥EG；
（2）求出平面BFC、DBF的法向量，求得两向量夹角的余弦值，进一步求得二面角D-BF-C的余弦值．

解答 （1）证明：∵平面ADFE⊥平面BCFE，AE⊥EF，
∴AE⊥平面BCFE，∴AE⊥BE，又BE⊥EF，
∴EB、EF、EA两两垂直．
以点E为坐标原点，EB、EF、EA所在直线分别为x、y、z轴，建立空间直角坐标系如图所示，
由已知AD=AE=BE=2，EF=3，BC=4，G为BC的中点，得：
A（0，0，2），B（2，0，0），C（2，4，0），D（0，2，2），F（0，3，0），G（2，2，0）．
∴$\overrightarrow{EG}=（2，2，0），\overrightarrow{BD}=（-2，2，2）$．
∵$\overrightarrow{EG}•\overrightarrow{BD}=-2×2+2×2+2×0=0$，
∴BD⊥EG；
（2）解：由图可知，平面BFC的一个法向量为$\overrightarrow{m}=（0，0，1）$．
设平面DBF的一个法向量为$\overrightarrow{n}=（x，y，z）$，
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BD}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BF}=0}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{-2x+2y+2z=0}\\{-2x+3y=0}\end{array}\right.$，取y=2，得x=3，z=1．
∴$\overrightarrow{n}=（3，2，1）$．
向量$\overrightarrow{m}$与向量$\overrightarrow{n}$的夹角的余弦值$cosθ=\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{1}{\sqrt{14}}=\frac{\sqrt{14}}{14}$．
∴二面角D-BF-C的余弦值为-$\frac{\sqrt{14}}{14}$．

点评 本题考查平面和平面垂直的性质，训练了利用空间向量证明线线垂直，利用空间向量求二面角的平面角，是中档题．