Question

已知A，B是椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)和双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的公共顶点．过坐标原点O作一条射线与椭圆、双曲线分别交于M，N两点，直线MA，MB，NA，NB的斜率分别记为k₁，k₂，k₃，k₄，则下列关系正确的是（　　）

A．k₁+k₂=k₃+k₄

B．k₁+k₃=k₂+k₄

C．k₁+k₂=-（k₃+k₄）

D．k₁+k₃=-（k₂+k₄）

Answer 1

分析：设出点的坐标，求出斜率的和，利用点在曲线上，化简，即可得到结论．

解答：解：设M（x，y），则k₁+k₂=

y

x+a

+

y

x-a

=

2xy

x2-a2

∵

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，∴

y

x2-a2

=-

b2

a2y

，∴k₁+k₂=-

2b2x

a2y

设N（x′，y′），则k₃+k₄=

y′

x′+a

+

y′

x′-a

=

2x′y′

x′2-a2

∵

x′2

a2

-

y′2

b2

=1(a＞0，b＞0)，∴

y′

x′2-a2

=

b2

a2y′

，∴k₃+k₄=

2b2x′

a2y′

∵O，M，N共线
∴

y

x

=

y′

x′

∴k₁+k₂=-（k₃+k₄）
故选C．

点评：本题考查椭圆与双曲线的综合，考查斜率的计算，正确计算是关键．