Question

【题目】如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a ， M为BD1的中点，N在A1C1上，且满足|A1N|＝3|NC1|.

（1）求MN的长；
（2）试判断△MNC的形状．

Answer 1

【答案】
（1）解：以D为原点，建立空间直角坐标系，

并设正方体边长为a，则B(a，a,0)，D1(0,0，a)，A1(a,0，a)，C1(0，a，a)，C(0，a,0)，M( a， a， a)，N( a， a，a)，

∴|MN|＝ ＝ a.

（2）解：∵ ＝(－ a， a， a)， ＝(－ a， a，－ a)， ＝(－ a， a，－a)，

∴ · ＝ a2＋ a2－ a2＝0，∴MN⊥MC，∴△MNC是直角三角形．

【解析】本题根据题意可以选用坐标法来解题，根据向量的相关知识及空间线段长计算公式：及两向量数量积等于零得到两向量垂直，解出本题。
【考点精析】关于本题考查的棱柱的结构特征，需要了解两底面是对应边平行的全等多边形；侧面、对角面都是平行四边形；侧棱平行且相等；平行于底面的截面是与底面全等的多边形才能得出正确答案．