Question

已知a∈R，函数f(x)＝＋ln x－1.
(1)当a＝1时，求曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程；
(2)求f(x)在区间(0，e]上的最小值．

Answer 1

(1) x－4y＋4ln 2－4＝0   (2) 当a≤0时，函数f(x)在区间(0，e]上无最小值；
当0<a<e时，函数f(x)在区间(0，e]上的最小值为ln a；
当a≥e时，函数f(x)在区间(0，e]上的最小值为.

解：(1)当a＝1时，f(x)＝＋ln x－1，x∈(0，＋∞)，
所以f′(x)＝－＋＝，x∈(0，＋∞)．
因此f′(2)＝.
即曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线斜率为.
又f(2)＝ln 2－，
所以曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y－＝ (x－2)，
即x－4y＋4ln 2－4＝0.
(2)因为f(x)＝＋ln x－1，
x∈(0，＋∞)，
所以f′(x)＝－＋＝.
令f′(x)＝0，得x＝a.
①若a≤0，则f′(x)>0，函数f(x)在区间(0，e]上单调递增，此时函数f(x)无最小值．
②若0<a<e，则当x∈(0，a)时，f′(x)<0，函数f(x)在区间(0，a)上单调递减；
当x∈(a，e]时，f′(x)>0，函数f(x)在区间(a，e]上单调递增，
所以当x＝a时，函数f(x)取得最小值ln a.
③若a≥e，则当x∈(0，e]时，f′(x)≤0，函数f(x)在区间(0，e]上单调递减，
所以当x＝e时，函数f(x)取得最小值.
综上可知，当a≤0时，函数f(x)在区间(0，e]上无最小值；
当0<a<e时，函数f(x)在区间(0，e]上的最小值为ln a；
当a≥e时，函数f(x)在区间(0，e]上的最小值为.