Question

已知函数f(x)=

lnx+a

x

(a∈R)．
（Ⅰ）求f（x）的极值；
（Ⅱ）若函数f（x）的图象与函数g（x）=1的图象在区间（0，e²]上有公共点，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由函数f(x)=

lnx+a

x

(a∈R)求导，令f'（x）=0，求出根，分析其两侧导数的符号，确定函数的极值；
（Ⅱ）若函数f（x）的图象与函数g（x）=1的图象在区间（0，e²]上有公共点，转化为求函数f（x）在区间（0，e²]上的值域，根据（Ⅰ）分类讨论函数在区间（0，e²]是的单调性，确定函数f（x）的最值．

解答：解：（Ⅰ）f（x）的定义域为（0，+∞），f'（x）=

1-(lnx+a)

x 2

令f'（x）=0得x=e^1-a
当x∈（0，e^1-a）时，f'（x）＞0，f（x）是增函数
当x∈（e^1-a，+∞）时，f'（x）＜0，f（x）是减函数
∴f（x）在x=e^1-a处取得极大值，f（x）_极大值=f（e^1-a）=e^a-1
（Ⅱ）（i）当e^1-a＜e²时，a＞-1时，由（Ⅰ）知f（x）在（0，e^1-a）上是增函数，在（e^1-a，e²]上是减函数
∴f（x）_max=f（e^1-a）=e^a-1
又当x=e^-a时，f（x）=0，当x∈（0，e^-a]时f（x）＜0．
当x∈（e^-a，e²]时，f（x）∈（0，e^a-1]，所以f（x）与图象g（x）=1的图象在（0，e²]上有公共点，等价于e^a-1≥1
解得a≥1，又a＞-1，所以a≥1
（ii）当e^1-a≥e²即a≤-1时，f（x）在（0，e²]上是增函数，
∴f（x）在（0，e²]上的最大值为f（e²）=

2+a

e2

所以原问题等价于

2+a

e2

≥1，解得a≥e²-2．
又∵a≤-1，∴无解
综上实数a的取值范围是a≥1

点评：考查利用导数求函数的极值和闭区间上函数的最值问题，两个函数图象的交点问题一般转化为求函数的值域问题，特别注意含有参数的最值问题，对参数进行讨论，增加了题目的难度，体现了分类讨论的思想方法．属难题．