Question

（本小题满分12分）
在平面直角坐标系xOy中，曲线y＝x²－2x—3与两条坐标轴的三个交点都在圆C上．若圆C与直线x－y＋a＝0交于A，B两点，
(1)求圆C的方程；
（2）若，求a的值；
(3)若 OA⊥OB，（O为原点），求a的值．

Answer 1

(1) (x－1)²＋(y+1)²＝5. （2）或；(3) a＝－1. 。

试题分析：(1)曲线y＝x²－2x—3与y轴的交点为(0,-3)，与x轴的交点为(-1，0)，(3，0)．
故可设圆C的圆心为(1，t)，则有1²＋(t+3)²＝(1+1)²＋t²，解得t＝.
则圆C的半径为.则以圆C的方程为(x－1)²＋(y+1)²＝5.
（2） , 圆心C到直线x－y＋a＝0的距离为
即，解得或
(3)设A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，其坐标满足方程组：.
消去y，得到方程2x²＋2ax＋a²+2a-3＝0. 由已知可得，判别式Δ＝24－16a－4a²>0.
从而x₁＋x₂＝－a，x₁x₂＝.①
由于OA⊥OB，可得x₁x₂＋y₁y₂＝0，又y₁＝x₁＋a，y₂＝x₂＋a，
所以2x₁x₂＋a(x₁＋x₂)＋a²＝0.②
由①，②得a＝1,，满足Δ>0，故a＝－1.
点评：典型题，关于圆的考查，往往以这种“连环题”的形式出现，首先求标准方程，往往不难。而涉及在直线与圆的位置关系，往往要利用韦达定理，实现“整体代换”。本题中利用OA⊥OB，可得x₁x₂＋y₁y₂＝0，从而将两根之积代入，方便求解。