Question

(12分) 已知函数=log_a(a＞0且a≠1)是奇函数

（1）求_，（

(2)讨论在(1,+∞)上的单调性,并予以证明

 

Answer 1

【答案】

 

（1）

（2）当a＞1时,f(x)=log_a在(1,+∞)上为减函数;当0＜a＜1时,f(x)=log_a在(1,+∞)上为增函数

【解析】解:

（1）

（2）设u=,任取x₂＞x₁＞1,则

u₂－u₁=

=

=.

∵x₁＞1,x₂＞1,∴x₁－1＞0,x₂－1＞0.

又∵x₁＜x₂,∴x₁－x₂＜0.

∴＜0,即u₂＜u₁.

当a＞1时,y=log_ax是增函数,∴log_au₂＜log_au₁,

即f(x₂)＜f(x₁);

当0＜a＜1时,y=log_ax是减函数,∴log_au₂＞log_au₁,

即f(x₂)＞f(x₁).

综上可知,当a＞1时,f(x)=log_a在(1,+∞)上为减函数;当0＜a＜1时,f(x)=log_a在(1,+∞)上为增函数.