Question

已知向量，且满足．
（I）求函数y=f（x）的单调递增区间；
（II）设△ABC的内角A满足f（A）=2，且，求边BC的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（I）根据向量的数量积公式和三角函数恒等变换的公式，化简得函数f（x）=，再由正弦函数的递增区间和整体思想进行求解；
（II）把条件代入（I）得到的解析式化简，再由A的范围和正弦值求出A，再代入化简求出bc的值，结合余弦定理和基本不等式求出a的最小值．
解答：解：（I）由题意得=2cosx+（cosx-sinx）sinx
=2sinxcosx+cos²x-sin²x=sin2x+cos2x
=，
由2kπ≤≤2kπ（k∈Z）得，≤x≤，
则所求的单调递增区间是[，]（k∈Z）．
（Ⅱ）由f（A）=2得，=2，即=1，
∵0＜A＜π，∴2A，即2A=，解得A=，
由得，bccosA=，解得bc=2，
在△ABC中，a²=b²+c²-2bccosA
=，当且仅当b=c时取等号，
∴==4-2，即a==．
点评：本题考查了向量的数量积运算，三角函数恒等变换公式，以及余弦定理和基本不等式的综合应用，掌握正弦函数的基本性质和解析式正确化简，是解好本题的关键．