Question

已知圆C的圆心与点P（-2，1）关于直线y=x+1对称．直线3x+4y-11=0与圆C相交于A，B两点，且|AB|=6，则圆C的方程为

 

．

Answer 1

分析：要求圆C的方程，先求圆心，设圆心坐标为（a，b），根据圆心与P关于直线y=x+1对称得到直线PC垂直与y=x+1且PC的中点在直线y=x+1上分别列出方程①②，联立求出a和b即可；再求半径，根据垂径定理得到

1

2

|AB|、圆心到直线AB的距离及圆的半径成直角三角形，根据勾股定理求出半径．写出圆的方程即可．

解答：解：设圆心坐标C（a，b），根据圆心与P关于直线y=x+1对称得到直线CP与y=x+1垂直，
而y=x+1的斜率为1，所以直线CP的斜率为-1即

1-b

-2-a

=-1化简得a+b+1=0①，
再根据CP的中点在直线y=x+1上得到

1+b

2

=

a-2

2

+1化简得a-b-1=0②
联立①②得到a=0，b=-1，所以圆心的坐标为（0，-1）；圆心C到直线AB的距离d=

|-4-11|

32+42

=3，

1

2

|AB|=3
所以根据勾股定理得到半径r2=32+

(-4-11)2

52

=18，
所以圆的方程为x²+（y+1）²=18．
故答案为：x²+（y+1）²=18

点评：此题是一道综合题，要求学生会求一个点关于直线的对称点，灵活运用垂径定理及点到直线的距离公式解决数学问题．会根据圆心和半径写出圆的方程．