Question

【题目】在极坐标系中，直线l的极坐标方程为ρcosθ＝4，曲线C的极坐标方程为ρ＝2cosθ+2sinθ，以极点为坐标原点O，极轴为x轴的正半轴建立直角坐标系，射线l'：y＝kx（x≥0，0＜k＜1）与曲线C交于O，M两点．

（Ⅰ）写出直线l的直角坐标方程以及曲线C的参数方程；

（Ⅱ）若射线l′与直线l交于点N，求的取值范围．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）直线l的直角坐标方程，曲线C的参数方程.

【解析】

（Ⅰ）由直线l的极坐标方程能求出直线l的直角坐标方程；由曲线C的极坐标方程，求出曲线C的直角坐标方程，由此能求出曲线C的参数方程．

（Ⅱ）用极径表示线段的长度，从而把比值问题转化为极坐标中极径的比值问题，再转化为以极角为变量的三角函数求范围问题.根据角的范围求即可.

解：（Ⅰ）∵直线l的极坐标方程为ρcos＝4，

∴直线l的直角坐标方程为x＝4，

∵曲线C的极坐标方程为ρ＝2cosθ+2sinθ，

∴曲线C的直角坐标方程为x2+y2﹣2x﹣2y＝0，即（x﹣1）2+（y﹣1）2＝2．

∴曲线C的参数方程为，（α为参数）．

（Ⅱ）设M（ρ1，β），N（ρ2，β），则ρ1＝2cosβ+2sinβ，，

∴＝＝＝

＝＝++，

∴，

∴的取值范围是（]．