Question

10．数列{a_n}，若对任意n∈N^*，郡有（1+a_n）（1-a_n+1）=2，a₁=2，则a₂₀₁₃•a₂₀₁₅的值为-1．

Answer 1

分析 把已知的数列递推式变形，结合首项求出数列的前几项，得到数列的周期，由周期性求得a₂₀₁₃•a₂₀₁₅的值．

解答 解：由（1+a_n）（1-a_n+1）=2，得${a}_{n+1}=\frac{{a}_{n}-1}{{a}_{n}+1}$．
又a₁=2，
∴${a}_{2}=\frac{{a}_{1}-1}{{a}_{1}+1}=\frac{1}{3}$，${a}_{3}=\frac{{a}_{2}-1}{{a}_{2}+1}=-\frac{1}{2}$，${a}_{4}=\frac{{a}_{3}-1}{{a}_{3}+1}=-3$，
${a}_{5}=\frac{{a}_{4}-1}{{a}_{4}+1}=2$，${a}_{6}=\frac{{a}_{5}-1}{{a}_{5}+1}=\frac{1}{3}$，…
由上可知，数列{a_n}是以4为周期的周期数列，
则a₂₀₁₃=a_4×503+1=a₁=2，
${a}_{2015}={a}_{4×503+3}={a}_{3}=-\frac{1}{2}$．
∴a₂₀₁₃•a₂₀₁₅=2×（-$\frac{1}{2}$）=-1．
故答案为：-1．

点评 本题考查数列递推式，关键是对数列周期的发现，是中档题．