Question

设{ a_n}为等比数列，{b_n}为等差数列，且b₁=0，c_n=a_n+b_n，若{ c_n}是1，1，2，…，求数列{ c_n}的前10项和．

Answer 1

分析：依题意：c₁=a₁-b₁=1，由b₁=0，知a₁=1，设b_n=（n-1）d，a_n=q^n-1，由c₂=a₂+b₂，c₃=a₃+b₃，知1=d+q，2=2d+q²，解得q=2，d=-1．所以a _n=2 ^n-1（n∈N^*），b_n=1-n （n∈N^*），由此能求出数列{ c_n}的前10项和．

解答：解：依题意：c₁=a₁+b₁=1，
∵b₁=0，
∴a₁=1，
设 b_n=b₁+（n-1）d=（n-1）d（n∈N^*），
a_n=a₁•q^n-1=q^n-1，（n∈N^*）
∵c₂=a₂+b₂，
c₃=a₃+b₃，
∴1=d+q，
2=2d+q²，
解得：q=0，d=1，或q=2，d=-1
∵q≠0，
∴q=2，d=-1．
∴a_n=2^n-1（n∈N^*），
b_n=1-n （n∈N^*），
∴c₁+c₂+…+c₁₀=（a₁+a₂+…+a₁₀）+（b₁+b₂+…+b₁₀）
=

1-(1-210)

1-2

+

10•(0+1-10)

2

=2¹⁰-1-10
=1024-46
=978
∴数列{ c_n}的前10项和为978．

点评：本题首先考查等差数列、等比数列的基本量、通项，结合含两个变量的不等式的处理问题，对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，难度大，易出错．