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设函数f(x)=
1
x+1
,点A0表示坐标原点,点An(n,f(n))(n∈N*),若向量
an
=
A0A1
+
A1A2
+…+
An-1An
,θn
an
i
的夹角,(其中
i
=(1,0)
),设Sn=tanθ1+tanθ2+…+tanθn,则Sn=
n
n+1
n
n+1
分析:函数 f(x)=
1
x+1
,点An(n,f(n))(n∈N*),则能推导出Sn=
1
1•2
+
1
2•3
+…+
1
n(n+1)
,利用裂项求和即可
解答:解:函数 f(x)=
1
x+1
,点An(n,f(n))(n∈N*),则,点A0表示坐标原点,点An(n,f(n))(n∈N*),
若向量
an
=
A0A1
+
A1A2
+…+
An-1An
,θn
an
i
的夹角
∴tanθ=
1
n+1
n
=
1
n(n+1)

∴Sn=tanθ1+tanθ2+…+tanθn,则
=
1
1×2
+
1
2×3
+…
1
n(n+1)

=1-
1
2
+
1
2
-
1
3
+…
1
n
-
1
n+1

=1-
1
n+1
=
n
n+1

故答案为:
n
n+1
点评:本题考查数列的极限和运算,裂项求数列的和,解题时要注意三角函数的灵活运用.
练习册系列答案
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科目:高中数学 来源: 题型:

设函数f(x)=
1x-1
-1

(Ⅰ) 求函数f(x)的定义域和值域;
(Ⅱ) 证明函数f(x)在(1,+∞)上为减函数.

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(2012•山东)设函数f(x)=
1
x
,g(x)=-x2+bx.若y=f(x)的图象与y=g(x)的图象有且仅有两个不同的公共点A(x1,y1),B(x2,y2),则下列判断正确的是(  )

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科目:高中数学 来源: 题型:

设函数f(x)=
1
x+1
,点A0表示原点,点An(n,f(n))(n∈N*),θn是向量
a
与向量
i
=(1,0)
的夹角,
an
=
A0A1
+
A1A2
+
A2A3
+…+
An-1An
,设Sn=tanθ1+tanθ2+tanθ3+…+tanθn,则
lim
n→∞
Sn
=
1
1

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科目:高中数学 来源: 题型:

设函数f(x)=
1
x+2
+lg
1-x
1+x

(1)求f(x)的定义域.
(2)判断函数f(x)的单调性并证明.
(3)解关于x的不等式f[x(x-
1
2
)]<
1
2

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