Question

设函数f（x）是定义在R上的偶函数，且对于任意的x∈R恒有f（x+1）=-f（x），已知当x∈[0，1]时，f（x）=3^x．则
①2是f（x）的周期；
②函数f（x）在（2，3）上是增函数；
③函数f（x）的最大值为1，最小值为0；
④直线x=2是函数f（x）图象的一条对称轴．
其中所有正确命题的序号是

①②④

．

Answer 1

分析：①对于任意的x∈R恒有f（x+1）=-f（x），所以f（x+2）=f（x），即2是函数的周期；
②利用x∈[0，1]时，函数单调递增，结合周期性，可得结论；
③x∈[0，1]时，函数f（x）的最大值为3，最小值为1，结合①②可得结论；
④函数f（x）是定义在R上的偶函数，2是函数的周期，可得结论．

解答：解：∵对于任意的x∈R恒有f（x+1）=-f（x），∴f（x+2）=f（x），∴2是函数的周期，即①正确；
设x∈（2，3），则x-2∈（0，1），∵当x∈[0，1]时，f（x）=3^x，函数单调递增，2是函数的周期，∴函数f（x）在（2，3）上是增函数，即②正确；
x∈[0，1]时，f（x）=3^x，∴x∈[0，1]时，函数f（x）的最大值为3，最小值为1，结合①②可知，③不正确；
∵函数f（x）是定义在R上的偶函数，2是函数的周期，∴直线x=2是函数f（x）图象的一条对称轴，即④正确．
故答案为①②④．

点评：本题考查函数的性质，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．