Question

【题目】若两曲线y=x2﹣1与y=alnx﹣1存在公切线，则正实数a的取值范围是 ．

Answer 1

【答案】（0,2e）
【解析】解：两曲线y=x2﹣1与y=alnx﹣1存在公切线，

y=x2﹣1的导数y′=2x，y=alnx﹣1的导数为y′= ，

设y=x2﹣1相切的切点为（n，n2﹣1）与曲线y=alnx﹣1相切的切点为（m，alnm﹣1），

y﹣（n2﹣1）=2n（x﹣n），即y=2nx﹣n2﹣1，

y﹣（alnm﹣1）= （x﹣m），即：y=

∴

∴ ∵a＞0，

∴

即 有解即可，

令g（x）=x2（1﹣lnx），

y′=2x（1﹣lnx）+ =x（1﹣2lnx）=0，可得x= ，

∴g（x）在（0， ）是增函数；（ ，++∞）是减函数，g（x）的最大值为：g（ ）= ，

又g（0）=0，

∴0 ，∴0＜a＜2e．

所以答案是：（0，2e）