Question

设复数z₁，z₂满足z₁z₂+2iz₁-2iz₂+1=0，

.

z2

-z1=2i，求z₁和z₂．

Answer 1

分析：由题中2个等式化简可得关于复数z₂的方程，设出复数z₂的代数形式，代入方程可求得复数z₂的值，
再由复数z₁，z₂的关系可求出复数z₁．

解答：解：由

.

z2

-z1=-2i，得zi=

.

z2

+2i，代入z₁z₂+2iz₁-2iz₂+1=0，
得(

.

z2

+2i) z2+2i(

.

z2

+2i) -2iz2+1=0，
即z2

.

z2

+2i

.

z2

 -3=0．（4分）
设z₂=a+bi（a，b∈R），
则a²+b²+2i（a-bi）-3=0，
a²+b²+2b-3+2ai=0．（9分）
∴

a2+b2+2b-3=0 2a=0

∴

a=0 b=1

或

a=0 b=-3

（12分）
∴

z1=i z2=i

或

z1=5i z2=-3i

（14分）

点评：本题考查复数的概念，复数代数形式的乘法和除法．