Question

设E，F是正方体AC₁的棱AB和D₁C₁的中点，在正方体的12条面对角线中，与截面A₁ECF成60°角的对角线的数目是（　　）

A．0

B．2

C．4

D．6

Answer 1

分析：先把六个面分为三组，在一组组的进行研究，找到直线与截面法向量的夹角即可得到结论．

解答：解：首先，把六个面分成三组，AA₁D₁D和BB₁C₁C对截面的关系是一样的，其他四个是一样的，
以点D为原点，AD所在直线为X轴，DC所在直线为Y轴，DD₁所在直线为Z轴，
设正方体棱长为2；
则A（2，0，0），D（0，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），E（2，1，0），
F（0，1，2），A₁（2，0，2），B₁（2，2，2，），C₁（0，2，2），D₁（0，0，2）；
∴

EC

=（-2，1，0），

A1E

=（（0，1，2），

AC

=（-2，2，0），

BD

=（-2，-2，0），

B 1C

=（-2，0，-2），

B1A

=（0，-2，-2）；

A1B

=（0，2，-2）
因为要想面对角线截面A₁ECF成60°角，需要直线与法向量的夹角为30度，即其余弦值为±

3

2

．
设截面A₁ECF的法向量为

n

=（x，y，z），
由

n • EC =0 n • A1E =0

⇒

y-2z=0 -2x+y=0

⇒

n

=（1，2，1），且|

n

|=

6

，
因为cos＜

n

，

AC

＞=

n • AC

| n |•| AC |

=

-2+2×2

8 • 6

=

3

6

≠±

3

2

；
cos＜

BD

，

n

＞=

-2-2×2

8 ×  6

=-

3

2

，
cos＜

B1C

，

n

＞=

-2-2

8 • 6

≠±

3

2

；
cos（

B1A

，

n

＞=

-2-2×2

8 • 6

=-

3

2

；
cos＜

A1B

，

n

＞=

2×2-2

8 × 6

≠±

3

2

；
再看AA₁D₁D这个面里，
AD₁与EF平行，不是，
所以，一共四条．
故选：C．

点评：本题主要考查了空间中直线与直线之间的位置关系、直线与平面所成的角，解决此题的关键是熟练掌握正方体的结构特征，考查学生的空间想象能力和推理论证能力，属于基础题．