Question

已知函数f（x）=a-

2

2x+1

（1）若f（x）为奇函数，求实数a的值；
（2）判断并证明f（x）的单调性．

Answer 1

分析：（1）利用奇函数的性质f（x）+f（-x）=0求a；
（2）函数y=2^x单调递增，易判断f（x）单调递增，再利用定义法证明函数的单调性．

解答：解：（1）由奇函数的性质f（x）+f（-x）=0，得a-

2

2x+1

+a-

2

2-x+1

=0，解得a=1
（2）函数y=2^x单调递增，易判断f（x）在定义域R上单调递增，证明如下：
任取x₁＜x₂∈R，f(x1)-f(x2)=a-

2

2x1+1

-(a-

2

2x2+1

)=2•

2x1-2x2

(2x1+1)(2x2+1)

，∵x_1＜x₂∈R
∴0＜zx1＜2x2
∴f（x₁）-f（x₂）＜0
∴f（x）在定义域R上单调递增

点评：本题考察函数的性质，属中档题．（1）考查奇函数的性质f（x）+f（-x）=0，注意化简及计算
（2）考查函数单调性判断及利用定义法证明函数的单调性，过程要规范．